[알고리즘] 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)

컴퓨터를 활용해도 어려운 문제

• 최적의 해를 구하기에 시간이 매우 많이 필요한 문제
• 최적의 해를 구하기에 메모리 공간이 매우 많이 필요한 문제

컴퓨터는 연산 속도에 한계가 있고, 메모리 공간을 사용할 수 있는 데이터의 개수도 한정적이라 많은 제약 발생

☞ 연산 속도와 메모리 공간을 최대한으로 활용할 수 있는 효율적인 알고리즘 작성 필요

 

다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)

• 동적 계획법
• 큰 문제를 작게 나누고, 같은 문제라면 한 번씩만 풀어 문제를 효율적으로 해결하는 알고리즘 기법
• 메모리 공간을 약간 더 사용하면 연산 속도를 비약적으로 증가시킬 수 있는 방법
• 다이나믹 프로그래밍은 다음 조건을 만족할 때만 사용 가능
  • 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
  • 작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 동일하다

분할 정복(Divide and Conquer) 알고리즘과 차이점
=> 다이나믹 프로그래밍은 문제들이 서로 영향을 미치고 있음

 

메모이제이션(Memoization) 기법

• 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 한 종류
• 값을 저장하는 방법이므로 캐싱(Caching)이라고도 함
• 한번 구한 결과를 메모리 공간에 메모해두고 같은 식을 다시 호출하면 메모한 결과를 그대로 가져오는 기법

탑다운(Top-Down) 방식

• 재귀 함수를 이용하여 다이나믹 프로그래밍 소스코드를 작성하는 방법
• 큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출

보텀업(Botton-Up) 방식

• 단순히 반복문을 이용하여 다이나믹 프로그래밍 소스코드를 작성하는 방법
• 작은 문제부터 차근차근 답을 도출

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다이나믹 프로그래밍 문제

1로 만들기

정수 X가 주어질 때 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.
    1. X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눈다.
    2. X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
    3. X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
    4. X에서 1을 뺀다.

정수 X가 주어졌을 때, 연산 3개를 적절히 사용해서 1을 만들려고 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하시오.

let x = Int(readLine()!)!

var d: [Int] = Array(repeating: 0, count: 30001)

//다이나믹 프로그래밍 진행(보텀업)
for i in 2..<(x+1){
    d[i] = d[i-1] + 1
    if i%2 == 0{
        d[i] = min(d[i], d[i/2]+1)
    }
    if i%3 == 0{
        d[i] = min(d[i], d[i/3]+1)
    }
    if i%5 == 0{
        d[i] = min(d[i], d[i/5]+1)
    }
}
print(d[x])

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개미 전사

개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다.
메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있다.
각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며, 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정이다.
이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다.
따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다.

개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

i 번째 식량창고에 있는 식량이 k라고 했을 때, 점화식은 다음과 같다.

$$a_{i} = max(a_{i-1}, a_{i-2}+k_{i})$$

var n = Int(readLine()!)!
var arr = readLine()!.split(separator: " ").map{Int(String($0))!}

var d: [Int] = Array(repeating: 0, count: 100)
d[0] = arr[0]
d[1] = max(arr[0],arr[1])

for i in 2..<n{
    d[i] = max(d[i-1],d[i-2]+arr[i])
}

print(d[n-1])

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바닥 공사

가로의 길이가 N, 세로의 길이가 2인 직사각형 형태의 얇은 바닥이 있다.
태일이은 이 얇은 바닥을 1x2의 덮개,  2x1의 덮개, 2x2의 덮개를 이용해 채우고자 한다.

이때 바닥을 채우는 모든 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 
- 2xN 바닥을 채우는 방법의 수를 796,796으로 나눈 나머지를 출력하시오.

위 문제의 점화식은 다음과 같다.

$$ a_{i} = a_{i-1} + a_{i-2} * 2 $$

var n = Int(readLine()!)!

var d: [Int] = Array(repeating: 0, count: 1001)
d[0] = 1
d[1] = 3

for i in 2..<n{
    d[i] = (d[i-1]+d[i-2]*2) % 796796
}

print(d[n-1])

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효율적인 화폐 구성

N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다.
이때 각 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있으며, 사용한 화폐의 구성은 같지만 순서만 다른 것은 같은 경우로 구분한다.
M원을 만드는 것이 불가능할 경우 -1을 출력한다.

금액 i를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수를 a_i, 화폐의 단위를 k라고 했을 때 점화식은 다음과 같다.

a_(i-k) 는 금액 (i-k)를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수이다.

$$ a_{i} = min(a_{i}, a_{i-k} + 1) $$

var inputdata = readLine()!.split(separator: " ").map{Int(String($0))!}
var n = inputdata[0], m = inputdata[1]

var arr = [Int]()
for _ in 0..<n{ arr.append(Int(readLine()!)!)}

var d: [Int] = Array(repeating: 10001, count: m+1)
d[0] = 0

for i in 1..<n{
    for j in min(arr[i],m)...max(arr[i],m){
        var index = j - arr[i] > 0 ? j - arr[i] : m + j - arr[i]
        if d[index] != 10001{
            d[j] = min(d[j], d[index]+1)
        }
    }
}

d[m] == 10001 ? print(-1) : print(d[m])