[알고리즘] 최단 경로(Shortest Path)

최단 경로(Shortest Path) 알고리즘

• 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
• 길 찾기 문제라고도 불림
• 그래프를 이용하여 표현
  • 각 지점은 노드로 표현
  • 지점과 연결된 도로는 간선으로 표현
• 최단 경로 문제의 종류
  • 단일 출발(single-source) 최단 경로
    • 어떤 하나의 정점에서 출발하여 나머지 모든 정점까지의 최단 경로를 찾는 문제
  • 단일 도착(single-destination) 최단 경로
    • 모든 정점에서 출발하여 어떤 하나의 정점까지의 최단 경로를 찾는 문제
    • 그래프 내의 간선을 뒤집으면 단일 출발 최단거리 문제로 바뀔 수 있음
  • 단일 쌍(single-pair) 최단 경로
    • 모든 정점 쌍들 사이의 최단 경로를 찾는 문제
• 주요 알고리즘
  • 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘
  • 벨만-포드(Bellman-Ford-Moore) 알고리즘
  • 플로이드-워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘

 

다익스트라 알고리즘

• 하나의 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 거리를 구하는 알고리즘
• 음의 간선이 없을 때 정상 동작
  • 음의 간선: 0보다 작은 값을 가지는 간선
• GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘
• 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 분류됨
• 알고리즘의 원리
  1. 출발 노드 설정
  2. 최단 거리 테이블 초기화
  3. 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
  4. 해단 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블 갱신
  5. 3,4번 반복
• 각 노드에 대한 현재까지의 최단거리 정보를 항상 1차원 테이블에 저장하며 이를 갱신한다는 점이 특징
• 구현 방법
  • 간단한 다익스트라 알고리즘
    • 시간 복잡도: O(V^2)  <V: 노드의 개수>
    • 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 테이블 선언
    • 단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색) 한다.
  • 개선된 다익스트라 알고리즘
    • 시간 복잡도: O(ElogV) <V: 노드의 개수, E: 간선의 개수>
    • 힙(Heap) 자료구조 사용
      • 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조
      • 우선순위 큐: 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
    • 우선순위 큐를 이용하여 최단 거리를 기록할 거리 테이블 정의

 

벨만-포드 알고리즘

• 매 단계마다 모든 간선을 전부 확인하면서 모든 노드 간의 최단 거리를 구함
• 음의 간선이 있어도 최적의 해를 찾을 수 있음
• 시간 복잡도 O(VE) <V: 노드의 개수,E: 간선의 개수>
• 수행과정
  1. 출발 노드 설정
  2. 최단 거리 테이블 초기화
  3. 모든 간선 E 개를 하나씩 확인
  4. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신
  5. 3,4번 과정을 V-1 반복

 

플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우 사용
• 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요 없음
• 2차원 테이블에 최단 거리 정보 저장
• 시간 복잡도 O(N^3)

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최단 경로 문제

미래 도시

방문 판매원 A는 많은 회사가 모여 있는 공중 미래 도시에 있다.
공중 미래 도시에는 1번부터 N번 까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다.
방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며 X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.

특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다.
또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있으며, 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.

또한 오늘 A는 소개팅에도 참석하고자 한다.
소개팅 상대는 K번 회사에 존재하며, A는 X번 회사에 가기 전 소개팅 상대를 만나고자 한다.
A가 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

플로이드 워셜 알고리즘을 사용하여 빠르게 풀 수 있다.

1번 노드에서 K를 거쳐 X로 가는 최단 거리는 (1번 노드에서 K까지의 최단 거리 + K에서 X까지 최단 거리) 이다.

var input_data = readLine()!.split(separator: " ").map{Int(String($0))!}
var n = input_data[0], m = input_data[1]

var graph: [[Int]] = Array(repeating: Array(repeating: Int.max, count: n+1), count: n+1)

for i in 1..<n+1{
    for j in 1..<n+1{
        if i == j {
            graph[i][j] = 0
        }
    }
}

//자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for _ in 0..<m{
    var ab = readLine()!.split(separator: " ").map{Int(String($0))!}
    graph[ab[0]][ab[1]] = 1
    graph[ab[1]][ab[0]] = 1
}

var xk = readLine()!.split(separator: " ").map{Int(String($0))!}
var x = xk[0], k = xk[1]

//플로이드 워셜 알고리즘 수행
for i in 1..<n+1{
    for a in 1..<n+1{
        for b in 1..<n+1{
            if graph[a][i] < Int.max && graph[i][b] < Int.max{
                graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][i] + graph[i][b])
            }
        }
    }
}

if graph[1][k] < Int.max && graph[k][x] < Int.max{
    var distance = graph[1][k] + graph[k][x]
    print(distance)
}else{
    print("-1")
}

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전보

어떤 나라에는 N개의 도시가 있으며, 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다를 도시로 전보를 보내서 다른 도시에 해당 메시지를 전송할 수 있다. 하지만 X 도시에서 Y도시로 전보를 보내고자 한다면, X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다.
통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.

어느날 C 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다.
메시지는 C에서 출발하여 각 도시 사이에  설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈것이다.

각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게되는 도시의 개수는 총 몇개 이며, 도시들이 모두 메시지를 받는데 까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.

원래 다익스트라 알고리즘은 우선순위 큐를 사용하지만 swift에서는 우선순위 큐를 제공하지 않아 배열을 사용하여 코드를 작성하였다.

var input_data = readLine()!.split(separator: " ").map{Int(String($0))!}
var n = input_data[0], m = input_data[1], start = input_data[2]

var graph: [[[Int]]] = Array(repeating: Array(repeating: Array(repeating: 0, count: 0), count: 0), count: n+1)
var distance: [Int] = Array(repeating: Int.max, count: n+1)

for _ in 0..<m{
    input_data = readLine()!.split(separator: " ").map{Int(String($0))!}
    var x = input_data[0], y = input_data[1], z = input_data[2]
    graph[x].append([y,z])
}

func dijkstra(_ start: Int){
    var queue: [[Int]] = [[start, 0]]
    distance[start] = 0
    
    while !queue.isEmpty{
        let first = queue.removeFirst()
        
        if distance[first[0]] < first[1]{
            continue
        }
        
        for i in graph[first[0]]{
            var cost = first[1] + i[1]
            if cost < distance[i[0]]{
                distance[i[0]] = cost
                queue.append([i[0],cost])
            }
        }
        
    }
}

dijkstra(start)

var count = 0, max_distance = 0

for d in distance {
    if d != Int.max{
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)
    }
}

print(count-1, max_distance)