[자료구조] 그래프(Graph)

그래프(Graph)

• 연결되어있는 원소간의 관계를 표현한 자료구조
• 노드(Node)와 그 노드를 연결하는 간선(Edge)을 하나로 모아 놓은 자료구조

그래프 관련 용어

• 정점(vertex): 위치라는 개념 (node 라고도 부름)
• 간선(edge): 위치 간의 관계, 노드를 연결하는 선 (link, branch 라고도 부름)
• 인접 정점(adjacent vertex): 간선에 의 해 직접 연결된 정점
• 정점의 차수(degree): 무방향 그래프에서 하나의 정점에 인접한 정점의 수
  
  • 무방향 그래프에 존재하는 정점의 모든 차수의 합 = 그래프의 간선 수의 2배
• 진입 차수(in-degree): 방향 그래프에서 외부에서 오는 간선의 수 (내차수 라고도 부름)
• 진출 차수(out-degree): 방향 그래픙에서 외부로 향하는 간선의 수 (외차수 라고도 부름)
  
  • 방향 그래프에 있는 정점의 진입 차수 또는 진출 차수의 합 = 방향 그래프의 간선의 수(내차수 + 외차수)
• 경로 길이(path length): 경로를 구성하는 데 사용된 간선의 수
• 단순 경로(simple path): 경로 중에서 반복되는 정점이 없는 경우
• 사이클(cycle): 단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우

그래프의 특징

• 네트워크 모델 
• 2개 이상의 경로가 가능
  • 노드들 사이에 무방향/방향에서 양방향 경로를 가질 수 있음
• self-loop 뿐 아니라 loop/circuit 모두 가능
• 루트 노드라는 개념이 없음
• 부모-자식 관계라는 개념이 없음
• 순회는 DFS나 BFS로 이루어짐
• 그래프는 순환(Cyclic) 혹은 비순환(Acyclic)
• 그래프는 크게 방향 그래프와 무방향 그래프가 있음
• 간선의 유무는 그래프에 따라 다름

그래프의 종류

1. 무방향 그래프 (Undirected Graph)

• 두 정점을 연결하는 간선에 방향이 없는 그래프
• 정점 A와 정점 B를 연결하는 간선은 (A, B)와 같이 정점의 쌍으로 표현
  • (A, B)는 (B, A) 동일

2. 방향 그래프 (Directed Graph)

• 두 정점을 연결하는 간선에 방향이 있는 그래프
• A -> B로만 갈 수 있는 간선은 <A, B>로 표시
  • <A, B>는 <B, A>는 다름

3. 완전 그래프 (Complete Graph)

• 그래프에 속해 있는 모든 정점이 서로 연결되어 최대 간선 수를 갖는 그래프
• 정점이 n개인 완전 그래프에서 무방향 그래프의 최대 간선수는 n*(n-1)/2
• 정점이 n개인 완전 그래프에서 방향 그래프의 최대 간선수는 (n-1)

4. 부분 그래프 (Subgraph)

• 기존의 그래프에서 일부 정점이나 간선을 제외하여 만든 그래프

5. 가중 그래프 (Weight Graph)

• 정점을 연결하는 간선에 가중치(Weight)를 할당한 그래프

6. 유향 비순환 그래프 (DAG, Directed Acyclic Graph)

• 방향 그래프에서 사이클이 없는 그래프

7. 연결 그래프 (Connected Graph)

• 떨어져 있는 정점이 없는 그래프

8. 단절 그래프 (Disconnected Graph)

• 연결되지 않은 정점이 있는 그래프

 

그래프의 구현

인접 리스트

• 그래프 내에 적은 숫자의 간선만을 가지는 희소 그래프(Sparse Graph) 의 경우
• 장점
  
  • 어떤 노드에 인접한 노드들 을 쉽게 찾을 수 있음
  • 그래프에 존재하는 모든 간선의 수 는 O(N+E) 안에 알 수 있음 -> 인접 리스트 전체를 조사함
• 단점
  
  • 간선의 존재 여부와 정점의 차수: 정점 i의 리스트에 있는 노드의 수 즉, 정점 차수만큼의 시간이 필요

인접 행렬

• 그래프에 간선이 많이 존재하는 밀집 그래프(Dense Graph) 의 경우
• 장점
  
  • 두 정점을 연결하는 간선의 존재 여부 (M[i][j])를 O(1) 안에 즉시 알 수 있음
  • 정점의 차수 는 O(N) 안에 알 수 있음 -> 인접 배열의 i번 째 행 또는 열을 모두 더함
• 단점
  
  • 어떤 노드에 인접한 노드들을 찾기 위해서는 모든 노드를 전부 순회해야 함
  • 그래프에 존재하는 모든 간선의 수는 O(N^2) 안에 알 수 있음 -> 인접 행렬 전체를 조사

그래프의 탐색

1. 깊이 우선 탐색(DFS, Depth-Firsh Search)

• 루트 노드(혹은 다른 임의의 노드)에서 시작해서 다음 분기(branch)로 넘어가기 전에 해당 분기를 완벽하게 탐색하는 방법
• 모든 노드를 방문 하고자 하는 경우에 이 방법을 선택
• BFS 보다 좀 더 간단

2. 너비 우선 탐색(BFS, Breadth-Firsh Search)

• 루트 노드(혹은 다른 임의의 노드)에서 시작해서 인접한 노드를 먼저 탐색하는 방법
• 두 노드 사이의 최단 경로 혹은 임의의 경로를 찾고 싶을 때 이 방법을 선택